Modelo de examen

1.-  Se calculó que el promedio de enfriamiento de todas las neveras para una línea de cierta compañía, emplean una temperatura de -4°C con una desviación típica de1.2°C.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que una nevera salga con una temperatura superior a -3°C?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que una nevera salga con una temperatura menor a -5.5°C?

Solución:

 

 

2.- Calcular el intervalo de probabilidad con un nivel de confianza del 95% para la media de una muestra de 100 recién nacidos, sabiendo que la población de recién nacidos sigue una normal de media μ=3100 gr. y desviación típica σ=150 gr.

Solución:

 3.- La mosca adulta del gusano tornillo es de color azul metálico y su tamaño triplica al de la mosca común. El gusano tornillo pone los huevos en las heridas de animales de sangre caliente y produce una grave infección. Se realizó un experimento con el objetivo de controlar esta población. Se expuso a las crisálidas del gusano tornillo a una dosis de radiación de 2500 rad con la esperanza de esterilizar a la mayor parte de los machos. Dado que las hembras se aparean sólo una vez, si lo hacen con un macho estéril producirán huevos estériles. Se encontró que tras la radiación, 415 de los 500 apareamientos observados dieron como resultado huevos estériles. Calcular el intervalo de confianza del 95 % del porcentaje de apareamientos estériles.

4.- Una encuesta, realizada a 64 empleados de una fábrica, concluyó que el tiempo medio de duración de un empleo en la misma era de 6’5 años con una desviación típica de 4. ¿Sirve esta afirmación para aceptar, con un nivel de significación del 5%, que el tiempo medio de empleo en esa fábrica es menor o igual que 6? Justificar adecuadamente la respuesta.

Solución:

 

 

Problema de esta semana en el País

Una hormiga se desplaza sin parar por las aristas de un cubo. Parte del vértice marcado con el número 1 (ver dibujo del profesor Blasco en la pizarra) por una de las tres aristas que salen de ese punto (con probabilidad 1/3 de tomar cualquiera de los caminos). Cada vez que llega a un nuevo vértice prosigue su paseo por una de las tres aristas que convergen en ese punto (vuelve para atrás, tira para un lado o para el otro), de nuevo con probabilidad 1/3 de tomar cada una de las rutas.
Los vértices 7 y 8 (ver dibujo en la pizarra) se rocían de insecticida, que es el único método que hay para matar a la hormiga: si el insecto llega a cualquiera de ellos morirá fulminantemente. Se pregunta: Partiendo del vértice 1. ¿Qué probabilidad hay de que la hormiga no muera nunca? ¿Qué probabilidad hay de que muera en el vértice 7? ¿Y en el 8?

Os pego una captura de pantalla en la que se puede ver un dibujo:

Tabla excel

Os pego el enlace para descargar la tabla excel que construí el viernes en clase. Espero que os sirva.

Aproximación de una binomial por una normal

Os pongo un enlace en el que de forma sencilla se cuenta cómo y cuándo se puede aproximar una Variable aleatoria que sigue una distribución binomial (discreta) por una normal (continua).

Notas de examen de estadística

He aquí las notas. Mañana ya os cuento cómo queda la evaluación.

Iniciales	Ex. 14-3-11
EBB	10
JCM	8,5
LFC	9,25
PGM	7,5
PAC	9,25
MCY	4,75
VFC	5,5
MEFG	4,75
FGN	9,5
LSF	7,5
MDVM	8
PROMEDIO	7,682

Modelo de examen

Os planteo cuatro problemas a modo de modelo de examen:

1.-Una variable aleatoria tiene la siguiente función de probabilidad,

X	1	2	3	4	5
P(x)	0’05	0’2	0’05	0,45	0’25

a. Comprobar que es una función de probabilidad calculando la media y la desviación típica.

b. Calcula y dibuja la función de distribución

c. Calcular:  P(x > 3).

d. Calcular

Soluc: Es muy fácil, si no lo sabes o tienes dudas me pones un correo.

2.- Realizada una apuesta de 1 euro., un jugador extrae una bola de una caja que contiene 2 bolas
blancas, 3 rojas y 5 negras. Si la bola extraída es negra pierde lo apostado y finaliza el juego; si es roja
recibe lo apostado y deja de jugar, y finalmente, si es blanca, cobra 2 euros si al lanzar una moneda
obtiene cruz y 4 euros si sale cara.
Si el jugador participa en 12 ocasiones en dicho juego, ¿ qué beneficio o pérdida tendrá ?.
 Soluc:
Las situaciones posibles son :

Extrae bola negra -1 euro con probabilidad  (5/10)= 0'5
Extrae bola roja 1 - 1euros=  0 euros con probabilidad (3/10)= 0'3
Extrae bola blanca y cruz 2 - 1 = 1 euro con probabilidad (2/10).(1/2)= 0'1
Extrae bola blanca y cara 4 - 1 = 3 euros con probabilidad (2/10).(1/2)= 0'1
La esperanza matemática de la variable aleatoria "beneficio en el juego" , nos indica lo que cabe esperar que ocurra en cada jugada.
Una cantidad negativa se interpreta como la pérdida media que el jugador tendrá en cada jugada. Si la
esperanza es positiva indicará que el jugador, promediando jugadas, ganará dicha cantidad. En ambos casos se dice que el juego no es equitativo o que es injusto.
Cuando la esperanza matemática del beneficio en un juego es igual a cero, diremos que dicho juego es
equitativo o justo.
En nuestro caso : E(X) = -1*0'5 + 0*0'3 + 1*0'1 + 3*0'1 = -0'1 euros
Realizadas 12 jugadas, lo más probable (lo esperado) es que haya perdido 1'2 euros [12 . (-0'1) ] .

3.- Supongamos que la probabilidad de tener una unidad defectuosa en una línea de ensamblaje es de 0.05. Si el conjunto de unidades terminadas constituye un conjunto de ensayos independientes:
a. ¿cuál es la probabilidad de que entre diez unidades dos se encuentren defectuosas?
b. ¿y de que a lo sumo dos se encuentren defectuosas?
c. ¿cual es la probabilidad de que por lo menos una se encuentre defectuosa?

Soluc: La variable X="número de unidades defectuosas de entre 10 elegidas" sigue una distribución binomial de parámetros n=10 y p=0'05. El resto no es difícil.

4.- En un quiosco de periódicos se supone que el número de ventas diarias se distribuye

normalmente con media 30 y varianza 2. Determinar:

a) Probabilidad de que en un día se vendan entre 13 y 31 periódicos

b) Determinar el máximo número de periódicos que se venden en el 90% de las

ocasiones

SOLUCIÓN:
a) X---- N( 30,√2 ) Tipificamos la variable Z=(X-30)/√2
P ( 13≤X≤31 )= P((13-30)/√2 ≤ z ≤(31-30)/ √2 ) = P ( -12,02 ≤ z ≤ 0,707 ) =
P ( z ≤ 0,707 ) – P ( z ≤ -12,02 ) = 0,7580
b) P ( X ≤ a ) = 0,90  luego P ( z ≤ (a-30)/ √2 ) = 0,90 (tablas)
(a-30)/ √2 = 1,28 de donde  a = 31,81 periódicos

Problemas de variables aleatorias

1.- Un jugador lanza un dado corriente. Si sale número primo, gana tantos cientos de euros como marca el dado, pero si no sale número primo, pierde tantos cientos de euros como marca el dado. Determinar la función de probabilidad y la esperanza matemática del juego.
 

2.- Si una persona compra una papeleta en una rifa, en la que puede ganar de 5.000 € ó un segundo premio de 2000 € con probabilidades de: 0.001 y 0.003. ¿Cuál sería el precio justo a pagar por la papeleta?

3.- Sea X una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad es:

x	p i
0	0,1
1	0,2
2	0,1
3	0,4
4	0,1
5	0,1

a. Calcular, representar gráficamente la función de distribución.

b. Calcular las siguientes probabilidades:

p (X < 4.5)

p (X ≥ 3)

p (3 ≤ X < 4.5)

Notas del examen de probabilidad

He aquí las notas del examen:

Iniciales	Ex. Probab 4-2-11
EBB	9
JCM	6
LFC	9,25
PGM	7
PAC	7
MCY	4,5
VFC	6,25
MEFG	3
FGN	9,5
LSF	7,25
MDVM	7
PROMEDIO	6,88636

apuntes de variables aleatorias

He aquí unos buenos apuntes sobre variables aleatorias.