Modelo de examen

Os planteo cuatro problemas a modo de modelo de examen:

1.-Una variable aleatoria tiene la siguiente función de probabilidad,

X	1	2	3	4	5
P(x)	0’05	0’2	0’05	0,45	0’25

a. Comprobar que es una función de probabilidad calculando la media y la desviación típica.

b. Calcula y dibuja la función de distribución

c. Calcular:  P(x > 3).

d. Calcular

Soluc: Es muy fácil, si no lo sabes o tienes dudas me pones un correo.

2.- Realizada una apuesta de 1 euro., un jugador extrae una bola de una caja que contiene 2 bolas
blancas, 3 rojas y 5 negras. Si la bola extraída es negra pierde lo apostado y finaliza el juego; si es roja
recibe lo apostado y deja de jugar, y finalmente, si es blanca, cobra 2 euros si al lanzar una moneda
obtiene cruz y 4 euros si sale cara.
Si el jugador participa en 12 ocasiones en dicho juego, ¿ qué beneficio o pérdida tendrá ?.
 Soluc:
Las situaciones posibles son :

Extrae bola negra -1 euro con probabilidad  (5/10)= 0'5
Extrae bola roja 1 - 1euros=  0 euros con probabilidad (3/10)= 0'3
Extrae bola blanca y cruz 2 - 1 = 1 euro con probabilidad (2/10).(1/2)= 0'1
Extrae bola blanca y cara 4 - 1 = 3 euros con probabilidad (2/10).(1/2)= 0'1
La esperanza matemática de la variable aleatoria "beneficio en el juego" , nos indica lo que cabe esperar que ocurra en cada jugada.
Una cantidad negativa se interpreta como la pérdida media que el jugador tendrá en cada jugada. Si la
esperanza es positiva indicará que el jugador, promediando jugadas, ganará dicha cantidad. En ambos casos se dice que el juego no es equitativo o que es injusto.
Cuando la esperanza matemática del beneficio en un juego es igual a cero, diremos que dicho juego es
equitativo o justo.
En nuestro caso : E(X) = -1*0'5 + 0*0'3 + 1*0'1 + 3*0'1 = -0'1 euros
Realizadas 12 jugadas, lo más probable (lo esperado) es que haya perdido 1'2 euros [12 . (-0'1) ] .

3.- Supongamos que la probabilidad de tener una unidad defectuosa en una línea de ensamblaje es de 0.05. Si el conjunto de unidades terminadas constituye un conjunto de ensayos independientes:
a. ¿cuál es la probabilidad de que entre diez unidades dos se encuentren defectuosas?
b. ¿y de que a lo sumo dos se encuentren defectuosas?
c. ¿cual es la probabilidad de que por lo menos una se encuentre defectuosa?

Soluc: La variable X="número de unidades defectuosas de entre 10 elegidas" sigue una distribución binomial de parámetros n=10 y p=0'05. El resto no es difícil.

4.- En un quiosco de periódicos se supone que el número de ventas diarias se distribuye

normalmente con media 30 y varianza 2. Determinar:

a) Probabilidad de que en un día se vendan entre 13 y 31 periódicos

b) Determinar el máximo número de periódicos que se venden en el 90% de las

ocasiones

SOLUCIÓN:
a) X---- N( 30,√2 ) Tipificamos la variable Z=(X-30)/√2
P ( 13≤X≤31 )= P((13-30)/√2 ≤ z ≤(31-30)/ √2 ) = P ( -12,02 ≤ z ≤ 0,707 ) =
P ( z ≤ 0,707 ) – P ( z ≤ -12,02 ) = 0,7580
b) P ( X ≤ a ) = 0,90  luego P ( z ≤ (a-30)/ √2 ) = 0,90 (tablas)
(a-30)/ √2 = 1,28 de donde  a = 31,81 periódicos